光栅作为光谱仪器的核心元件，自从1960年以来全息光栅就被广泛用于光谱仪光谱分析。随着研究的不断深入，光栅被越来越广泛地应用到更多领域，各式精密仪器、航空航天技术、金属冶炼工艺等都离不开光栅，光栅的研究与应用已经融入到了人们生活的方方面面[1-4]。等离子体光子学已经成为纳米光子学研究领域的重要组成部分之一。同时，表面等离激元具有局部场增强的独特性质，表面等离子体的本质是电子振荡耦合电磁波，它可以在介质和金属界面之间传播，并且它的限制能力比较强。紧凑型光学集成电路领域的许多科学家都对表面等离子体具有亚波长限制的能力感兴趣，而且许多研究人员致力于钻研表面等离子体[5-9]。

目前，世界上比较有名的光栅产品公司是德国的Heidenhain、英国的Renishaw、日本的Mitutoyo和西班牙的Fagor。其中，德国的Heidenhain在光栅测量领域长期霸占着第一的宝座。目前，光栅标记技术被科研工作者的不断完善，线性光栅的精度已达到微米甚至纳米级。例如，Heidenhain的光栅尺基于3个光栅和4个光栅系统的原理，光栅线间距已达到128 nm。日本的日立公司也生产了10 000线/mm沟槽衍射光栅，但这些采用最新技术的高精度光栅也非常昂贵。

国内对于光栅的研究以及测量相对比较落后，与国际领先水平之间还存在一定的差距。然而有需求就会有发展，各行各业的迫切需求从侧面推动了光栅研究的蓬勃发展[10-11]。目前国内已经能够把一些光栅测试产品做到1 μm的程度，并且在产品精度为上也有一定的保障。

用于测量的光栅主要通过机械标记技术和光刻技术进行处理。目前，测量中使用的光栅尺的线密度大都小于或等于2400线/mm。圆形光栅的最大线密度可达到162 000线/周。精密测量仪器中使用的圆形光栅的线密度为64 800线/周。表1列举了几种光栅，光栅线密度越高，技术越复杂，制造越困难。

表1常用的光栅参数种类尺寸/mm线纹数/mm分辨率/μm直线光栅玻璃投射光栅玻璃投射光栅金属反射光栅金属反射光栅高进度反射光栅玻璃衍射光栅圆光栅玻璃圆光栅?0

如今，对于表面等离子体的金属微纳米结构的研究形成了表面等离子体光子学这一个崭新的学科方向[12-16]。表面等离子体光学性质比较特殊，这一特殊的光学性质使其在光学准直技术、超分辨成像技术、太阳能电池技术等领域有着很好的发展前景。因此，表面等离子体技术成为了一项广受关注的研究行业。在更加先进的材料技术和有限元仿真模拟的帮助下，不断拓展研究领域，使得研究分支也随之增多。与此同时，许多相关的理论研究成果相继得到了证实。例如米氏理论、离散偶极近似理论等。运用数值模拟的方法代替实际操作大大节省了实验成本。并且这些实验不仅证实了模拟结果，而且还能积累大量宝贵的经验。

本课题主要通过COMSOL进行仿真建模，以便能够得到选定的入射角的多个光栅周期的电场模拟结果、入射波矢及所有反射和透射模式的波矢，以及反射率和透射率。通过研究平面电磁波入射到电介质基板的线光栅上，计算电介质基底上表面等离激元光栅的折射系数、镜面反射及一阶衍射随的透射和反射系数入射角的变化。

1 有限元值模拟及基本理论

在表面等离子体光学这一科学领域中，对于样品制备、加工技术和测试设备的实验研究的要求通常都很高，并且相关的设备投资也比较高。因此，数值模拟成为了研究表面等离子体的最为常用的方法。科研工作者提出的各种理论假设都可以通过使用计算机数值计算来加以验证，如此一来，实验成本能够得到有效的控制，并进一步指导后续的试验工作。目前，模拟电磁场的方法非常多，例如限元法、传递矩阵法、严格耦合波分析法、频域有限差分法、时域有限差分法等。每种方法都各有优劣，处理实际问题时要做出合适的选择。就目前而言，频域技术与时域技术相比，相对发展得更加成熟。

在传统光学的研究中，可以用经典的几何光学理论来分析，但对于表面等离子体的传播问题用它来解决显得有些乏力。经过长期探索，人们发现电磁理论可以很好地运用到表面等离子体的研究当中。基于本课题的实际需要，本文只有限元方法做简单介绍。

1.1 有限元方法

有限元法就是用数学方程间的相互转化来解决物理问题。它的核心就是求PED近似解和离散化。它的原理是将待求区域由一化多，然后单个分析，再总体分析，得到所需结果。也就是将整个连续解空间划分为离散网格区域，用函数设置代替具体物理量，用未知函数表示离散，包含未知参数的函数，计算来实现对有限可计算自由度问题的替换。简单来说就是通过设定未知函数，运用微分方程、离散代数方程等数学方程的相互转化，最终通过较简单方程求解近似解。